あやねの冒険日誌

先日、４人パーティで挑んでも白宝箱ドロップ率は上昇はするものの、１人で挑んだ場合の４倍には必ずしもならないことを述べました。

そこで思い立ったのが、落とす確率が４倍になるドロップ率はいくらなのかということで計算してみることにしました。

まず具体的な数値で予想します。
なお以下にある＾の記号について、例えば5＾3というのは「5の3乗」という意味です。

○ドロップ率が80%の場合
(1ー0.2＾4)÷0.8≒1.24倍

○ドロップ率が10%の場合
(1－0.9＾4)÷0.1≒3.4倍

○ドロップ率が1/256(DQ5ではぐれメタルが仲間になるのと同じ確率)の場合
［1－{1－(255÷256)＾4}］÷(1÷256)≒3.66倍

こう見ると、非常に低い確率にて、４人パーティの時に１人で挑むと四倍のドロップ率になる確率がありそうです。
そこで、白宝箱のドロップ率をpとして、１人で挑んだ４倍が、４人で挑んだ場合の余事象からできる確率の式と等しいとした方程式を作ると

4p=1ー(1－p)＾4

という4次方程式となります。
4次方程式の解の公式は今回は不要で、二項定理や因数定理を用いて解くと

p=0 または 2±√2i

となり、虚数解が出てくることから、４人パーティだと１人パーティより白宝箱が出る確率が４倍になることはありえないとわかりました。４倍未満です。
ただし、限りなく四倍には近づきます。

また、別のアプローチとして、上の4次方程式の右辺の式を微分して導関数を求めた後、左辺の式と右辺の式をグラフ化すると、交わるのは原点すなわち0のみとなり、そういう確率はないとこれでもわかります。
「４人で挑めば４倍になる」という誤情報には気をつけてください。

ただし、浅学なため、この計算と結論に誤りがあれば、御教示いただけると有難いです。


(追記)
この確率は出現したモンスターが「1種類」の場合です。